1. Hegel e a prova

Hegel acompanhou com grande interesse os desenvolvimentos pelos quais a matemática passava na Alemanha durante as primeiras décadas do século XIX. Não sendo um estudioso profundo dessa arte, teve no entanto algumas intuições sagazes sobre os problemas que a axiomatização da matemática, que surgia com ímpeto no horizonte das ciências, poderia gerar.

Alguns de meus parágrafos prediletos de Fenomenologia do Espírito tratam justamente da ideia de prova, e em especial de demonstração matemática. Conforme comentei na aula 4 do curso “Hegel e a Morada do Espírito” (em andamento: inscreva-se), o filósofo alemão tinha ojeriza a toda forma de conhecimento que se pretendesse científica mas, ao mesmo tempo, separasse o conhecimento direto da coisa do método empregado para conhecê-la. Seu juízo no parágrafo 42, “O movimento da prova matemática não pertence àquilo que é objeto, mas é um agir exterior à Coisa” (trad. Paulo Meneses), é exemplar a esse respeito.

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Dou um exemplo diferente daqueles que Hegel oferece. Existem centenas de provas do teorema de Pitágoras. Cada uma dessas provas, umas mais indiretas do que as outras, oferece uma rota até a fundamentação de um conhecimento (“a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa”) cuja experiência direta não está dada na prova em si. Surge um elemento de arbitrariedade que um estudante de matemática terá talvez experimentado — aí vai outro exemplo — ao acompanhar pela primeira vez aquela que em geral é tida como a mais modelar das provas por redução ao absurdo, a demonstração euclidiana da infinitude dos números primos (o que ocorrerá no passo de construção do número hipotético $N=(p_1\times p_2\times \dots \times p_n)+1$). De igual modo, há diversas outras provas desse mesmo resultado, que partem de campos os mais variados (álgebra, cálculo diferencial, topologia), mas têm em comum a indiferença metodológica pelo fato que se quer demonstrar. Precisamente isso incomodava Hegel.

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Escreve ele no parágrafo 44:

No que toca ao conhecimento [que se obtém através da matemática], não parece clara, à primeira vista, a necessidade da construção [empregada para se chegar àquele conhecimento]. Não deriva do conceito do teorema, mas é algo imposto: deve-se obedecer às cegas a prescrição de traçar justamente estas linhas [em certa prova geométrica], quando infinitas outras poderiam ser traçadas; sem nada mais saber, acreditar piamente que esse processo é adequado para a conduta da demonstração. Mais tarde se mostra também essa conformidade com o fim, que é só uma conformidade exterior, pelo motivo de que só se manifesta quando feita sua demonstração. Assim, essa demonstração toma um caminho que começa num ponto qualquer, sem se saber que relação tem com o resultado que deve provir. O curso da demonstração assume estas determinações e relações e deixa outras de lado, sem que imediatamente se possa ver qual a necessidade [disso]; uma finalidade exterior comanda esse movimento.

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Para Hegel o método filosófico não é uma técnica aplicada a determinado conteúdo; é o próprio movimento imanente do conteúdo, em contraste total com o que ele via, com alguma razão, nos métodos usuais de prova matemática. Como afirmará na Ciência da lógica, “a necessidade da conexão e o surgimento imanente das diferenças têm de se encontrar no tratamento da questão mesma, pois ela recai na própria determinação progressiva do conceito” (trad. Marco Aurélio Werle). A prova filosófica precisa ser mais direta e menos gratuita que a prova matemática.

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2. A noz de Alexander Grothendieck

A impressão que Hegel tinha da arbitrariedade da prova matemática seria compartilhada, quase dois séculos depois, por Alexander Grothendieck, um dos mais espantosos matemáticos do século XX, além de uma das mais puras vocações de escritor do pós-guerra, obsessivo que ele era em redigir teoremas, sonhos, visões místicas, especulações teológicas e memórias da infância.

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Esse matemático-escritor apátrida, ao fim da vida um recluso crônico, ficou conhecido, para além da sua biografia romântica, pelos seus textos matemáticos arquitetônicos: em vez de tomar certo problema onde algum colega o havia deixado no passado, ele se lançava à reformulação da área inteira dentro da qual pretendia atacar um problema específico. Ou, antes, seria quase o caso de dizer que “problemas”, no sentido especialíssimo e especializado da palavra, não lhe interessavam. Interessava-lhe a coisa, que para ele, como para Hegel, jamais poderia vir desacompanhada da realidade inteira que a cercava. Por isso emprega a todo momento ferramentas que traduzem resultados universais para certa localidade, e vice-versa, e por isso buscaria progressivas metalinguagens que abrangessem as linguagens anteriores nas quais vinha trabalhando, até atingir a noção mais global de topos.

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Ele não gostava de provas “espertinhas”. Uma demonstração precisa ser uma exibição perfeita e direta daquilo que se quer demonstrar. Ou simplesmente a caminhada até a altura adequada para observar panoramicamente aquilo que se quer observar. Um estranho análogo matemático do intuicionismo radical.

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Uma das passagens mais citadas de Alexander Grothendick exemplifica essa sua percepção com intensa beleza. Traduzo abaixo as páginas 911-914 do volume 2 de Récoltes et Sémailles [Colheitas e Semeaduras (1983-1985)], que ao longo dos últimos anos veio se tornando um dos meus livros prediletos. É parte da extensa e onírica seção “L’Enterrement (2) — ou la clef du Yin et du Yang”.

Tomemos, por exemplo, a tarefa de demonstrar um teorema que permanece hipotético (o que, para alguns, pareceria reduzir-se ao trabalho matemático). Vejo duas abordagens extremas para realizar a tarefa. Uma delas é a do martelo e do cinzel, quando o problema é visto como uma noz grossa, dura e lisa, cujo interior — a polpa nutritiva protegida pela casca — se deseja alcançar. O princípio é simples: coloca-se a lâmina do cinzel contra a casca e bate-se com força. Se necessário, recomeça-se em vários lugares diferentes, até que a casca se quebre — e assim se fica satisfeito.

Essa abordagem é especialmente tentadora quando a casca apresenta asperezas ou protuberâncias através das quais se pode “pegá-la”. Em alguns casos, tais “pontas” por onde pegar a noz saltam aos olhos; noutras, é preciso virá-la atentamente em todas as direções, examiná-la com cuidado, antes de encontrar um ponto de ataque. O mais difícil é quando a casca é de uma redondeza e de uma dureza perfeitas e uniformes. Pode-se bater com força, o gume do cinzel mal risca a superfície — a pessoa acaba se cansando da tarefa. Às vezes, consegue-se no final, à custa de muito músculo e de resistência.

Eu poderia ilustrar a segunda abordagem mantendo a imagem da noz que se trata de abrir. A primeira parábola que me veio à mente há pouco é que mergulhamos a noz em um líquido emoliente, em água emoliente por assim dizer; de tempos em tempos, esfregamo-la para que penetre melhor, e o resto deixamos por conta do tempo. A casca amolece ao longo das semanas e dos meses — quando o tempo está maduro, uma pressão da mão basta, e a casca se abre como a de um abacate maduro! Ou ainda, deixamos a noz amadurecer sob o sol, sob a chuva e talvez também sob as geadas do inverno. Quando o tempo está maduro, é um broto delicado que sai de dentro — ou, melhor dizendo, a casca abrir-se-á por si mesma para lhe dar passagem.

A imagem que me veio à mente há algumas semanas era diferente, a coisa desconhecida que se trata de conhecer me parecia como alguma extensão de terra ou de margas compactas, relutantes em se deixar penetrar. Pode-se avançar com picaretas ou com barras de mina ou mesmo com martelete: esta é a primeira abordagem, a do “cinzel” (com ou sem martelo). A outra abordagem é a do mar. O mar avança imperceptivelmente e sem ruído, nada parece se quebrar, nada se move, a água está tão calma que mal a ouvimos… No entanto, ela acaba por cercar a substância relutante, esta pouco a pouco se torna uma península, depois uma ilha, depois uma ilhota, que acaba por ser submersa, como se fosse finalmente dissolvida no oceano que se estende a perder de vista…

O leitor que estiver um pouco familiarizado com alguns de meus trabalhos não terá nenhuma dificuldade em reconhecer qual desses dois modos de abordagem é “o meu” — e eu já tive ocasião de me explicar sobre isso na primeira parte de Colheitas e Semeaduras. É “a abordagem do mar”, por submersão, absorção, dissolução — aquela em que, quando não se presta muita atenção, parece que nada acontece em momento algum: cada coisa a cada momento é tão evidente e, sobretudo, tão natural, que se hesitaria muitas vezes em registrá-la preto no branco, por medo de parecer gabar-se, de querer dar nas vistas em vez de golpear com um cinzel como todo mundo… É no entanto essa a prática que eu exercito por instinto desde a minha juventude, sem nunca realmente a ter aprendido.

Esse caminho, o do mar, é o do método que acompanha a coisa em seu contexto global, como queria Hegel, e espera que ela mesma se revele ao observador, sem que este busque atalhos gratuitos. É nessa postura de passividade, de paciência, que Grothendick notaria a componente “feminina” de todo processo criativo, e por isso falaria tantas vezes, como na seção “L’enfant et la Mère”, da necessidade de reconectar-se com o útero, com a espontaneidade perdida da infância que, distraída, via maravilhada o mundo chegar até ela. Aí estaria a marca dos grandes criadores.

Disso falarei num próximo texto.